【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4.
(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值.
【答案】(1)(x-2)2+y2=4(x≠0);(2)2+.
【解析】試題分析:(1)用極坐標形式表示點的坐標,根據(jù)條件得到|OP|=ρ,,得到C2的極坐標方程ρ=4cos θ(ρ>0),再化為直角坐標方程;(2)由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積為,根據(jù)三角函數(shù)的范圍得到最值.
解析:
(1)設(shè)P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0).
由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16,得C2的極坐標方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)設(shè)點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0),
由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·
=2≤2+.
當(dāng)α=-時,S取得最大值2+.
所以△OAB面積的最大值為2+.
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【題目】在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O′的直徑,F(xiàn)B是圓臺的一條母線.
(1)已知G,H分別為EC,F(xiàn)B的中點,求證:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB= AC=2 AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.
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【題目】在區(qū)間[0,1]上給定曲線y=x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小,并求最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,當(dāng)P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P′( , );當(dāng)P是原點時,定義P的“伴隨點“為它自身,平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點A′,則點A′的“伴隨點”是點A;
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關(guān)于x軸對稱,則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫出所有真命題的序列).
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N* .
(1)若2a2 , a3 , a2+2成等差數(shù)列,求an的通項公式;
(2)設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en , 且e2= ,證明:e1+e2++en> .
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【題目】奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(-1)=0,則不等式(x-1)f(x-1)<0的解集是( 。
A. B.
C. D.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實數(shù)的最小值;
(2)若存在,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤ ),其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個交點的距離為π.若f(x)>1對任意x∈(﹣ , )恒成立,則φ的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.( , ]
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