已知雙曲線C的中心在原點，拋物線y2=2
5
x的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線經(jīng)過點(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實數(shù)k值．
分析：（1）先求拋物線的焦點為F（
5
2
，0），從而設雙曲線方程，再將點(1，
3
)代入，可求雙曲線C的方程；
（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，將向量垂直條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，從而可得方程，進而可解．
解答：解：（1）拋物線的焦點是（
5
2
，0），則雙曲線的c=
5
2
．…（1分）
設雙曲線方程：
x2
a2
-
y2
b2
=1，則有
1
a2
-
3
b2
=1…（2分）
解得：a2=
1
4
，b2=1⇒方程為：4x2-y2=1…（5分）
（2）聯(lián)立方程：
y=kx+1
4x2-y2=1
⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
當△＞0時，得-2
2
＜k＜2
2
(且k≠±2)…（7分）（未寫△扣1分）
由韋達定理：x1+x2=
2k
4-k2
，x1x2=
-2
4-k2
…（8分）
設A(x1，y1)，B(x1+x2)，由
OA
⊥
OB
，x1x2+y1y2=0即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0代入可得：k2=2，k=±
2
，檢驗合格．…（12分）
點評：本題以拋物線為載體，考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，考查向量垂直，關鍵是利用其數(shù)量積為0求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為
2
3
3
．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設P（x0，y0）是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，求
MP
•
MQ
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標原點，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點的坐標為(-
13
，0)，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求
1
|
OA
|2
+
1
|
OB
|2
的值；
（Ⅲ）動點P在線段AB上，滿足
OP
•
AB
=0，求證：點P在定圓上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在坐標軸上，P（1，-2）是C上的點，且y=
2
x是C的一條漸近線，則C的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求
DA
•
DB
的值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（M，N都不同于點E），且EM⊥EN，求證：直線MN與x軸的交點是一個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理） 在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的中心在原點，它的一個焦點坐標為(
5
，0)，
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線C上的點P，其中
op
=m
e1
+n
e2
（m，n∈R），則m，n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1
．

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