已知a≥0,函數(shù)f(x)=x2+ax.設(shè)x1∈(-∞,-
a
2
)
,記曲線y=f(x)在點M(x1,f(x1))處的切線為l,l與x軸的交點是N(x2,0),O為坐標原點.
(Ⅰ)證明:x2=
x
2
1
2x1+a
;
(Ⅱ)若對于任意的x1∈(-∞,-
a
2
)
,都有
OM
ON
9a
16
成立,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)求出f'(x),把x=x1代入到導(dǎo)函數(shù)中求出切線l的斜率,并代入到f(x)中求出f(x1),寫出切線方程,然后令y=0求出與x軸的交點橫坐標x即x2得證;
(Ⅱ)根據(jù)第一問寫出M和N的坐標,算出
OM
ON
的數(shù)量積,當a等于0時不等式成立,當a大于0時設(shè)g(x1)等于數(shù)量積,求出導(dǎo)函數(shù)等于0時,x1的值,然后利用x1∈(-∞,-
a
2
)
討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)的增減性得到g(x1)的最小值大于
9a
16
列出關(guān)于a的不等式,求出解集即可得到a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)證明:對f(x)求導(dǎo)數(shù),得f'(x)=2x+a,故切線l的斜率為2x1+a,
由此得切線l的方程為y-(x12+ax1)=(2x1+a)(x-x1).
令y=0,得x2=-
x
2
1
+ax1
2x1+a
+x1=
x
2
1
2x1+a

(Ⅱ)由M(x1,
x
2
1
+ax1),N(
x
2
1
2x1+a
,0)
,得
OM
ON
=
x
3
1
2x1+a

所以a=0符合題意;
當a>0時,記g(x1)=
x
3
1
2x1+a
x1∈(-∞,-
a
2
)

對g(x1)求導(dǎo)數(shù),得g′(x1)=
x
2
1
(4x1+3a)
(2x1+a)2

令g'(x1)=0,得x1=-
3a
4
∈(-∞,-
a
2
)

x1∈(-∞,-
a
2
)
時,g'(x1)的變化情況如下表:精英家教網(wǎng)
所以,函數(shù)g(x1)在(-∞,-
3a
4
)
上單調(diào)遞減,
(-
3a
4
,-
a
2
)
上單調(diào)遞增,從而函數(shù)g(x1)的最小值為g(-
3a
4
)=
27
32
a2

依題意
27
32
a2
9a
16
,解得a>
2
3
,即a的取值范圍是(
2
3
,+∞)

綜上,a的取值范圍是(
2
3
,+∞)
或a=0.
點評:考查學(xué)生會進行平面向量的數(shù)量積的運算,掌握不等式恒成立時所取的條件,會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值,會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線的方程.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a≥0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex
(Ⅰ)當x為何值時,f(x)取得最小值?證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)設(shè)f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a≠0,函數(shù)f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
,g(x)=-ax+1,x∈R.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若在區(qū)間(0,
1
2
]
上至少存在一個實數(shù)x0,使f(x0)>g(x0)成立,試求正實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a≥0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex
(1)當a=0時討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當x取何值時,f(x)取最小值,證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a≥0,函數(shù)f(x)=a2+
2
cos(x-
π
4
)+
1
2
sin2x
的最大值為
25
2
,則實數(shù)a的值是
12-2
2
12-2
2

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