Question

在數(shù)列{a_n}中，，其中S_n表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）分別求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式，并予以證明．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65319.png' />，，
所以n=2時(shí)，，
n=3時(shí)===，，
n=4時(shí)==，…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式…（5分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，，命題成立；
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)成立，即成立…（7分）
由已知
推得：
成立…（9分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，=
=
則n=k+1時(shí)，也成立．…（14分）
綜上可知，對(duì)任意n∈N，成立．
分析：（Ⅰ）通過關(guān)系式，利用n=2，3，4，即可求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）通過觀察a₁，a₂，a₃，a₄的值，猜想求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的項(xiàng)的求法，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，注意證明中必須利用假設(shè)，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．