Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD；
（3）求銳二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥面PAD；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明面PDC⊥面PAD；
（3）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法即可求銳二面角B-PD-C的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，連接AC，
∵ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn)，
∴AC必經(jīng)過(guò)F  又E是PC的中點(diǎn)，
所以，EF∥AP
∵EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，
∴EF∥面PAD
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，
面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP?面PAD，∴AP⊥CD  又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD
又AD?面PAD，∴面PDC⊥面PAD
（3）由P作PO⊥AD于O，以O(shè)A為x軸，以O(shè)F為y軸，以O(shè)P為z軸，則
A（1，0，0），P（0，0，1）
由（2）知$\overrightarrow{AP}=（-1，0，1）$是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），$\overrightarrow{BD}=（-2，-1，0）$，$\overrightarrow{PD}=（-1，0，-1）$
設(shè)面BPD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BD}$得$\left\{\begin{array}{l}-2x-y=0\\-x-z=0\end{array}\right.$，
取x=1，則$\overrightarrow n=（1，-2，-1）$，
向量$\overrightarrow{AP}=（-1，0，1）$和$\overrightarrow n$的夾角的余弦$\frac{（1，-2，-1）•（-1，01）}{{\sqrt{2}\sqrt{6}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（11分）
所以，銳二面角B-PD-C的余弦值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定以及二面角的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．