Question

已知AB=2，AD=2

2

，PA=2，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，由此能求出三角形PCD的面積．
（2）取PB中點F，連接EF、AF，則EF∥BC，從而∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AE所成的角，由此能求出異面直線BC與AE所成的角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，
從而CD⊥PD，
∵PD=

22+(2 2 )2

=2

3

，CD=2，
∴三角形PCD的面積為

1

2

×2×2

3

=2

3

．…（6分）
（2）取PB中點F，連接EF、AF，則EF∥BC，
∴∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AE所成的角，
在△AEF中，∵EF=

2

，AF=

2

，AE=2，
∴△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF=

π

4

．…（6分）

點評：本題考查三角形面積的求法，考查異面直線所成角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化空問題為平面問題．