Question

設(shè)a＞0，f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+2|lnx-1|，利用零點(diǎn)分段法，我們可將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分別求出當(dāng)x＞e時(shí)，和當(dāng)0＜x＜e時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）類比（1），利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以判斷出f（x）在（e，+∞）單增，f（x）在(

a 2

，+∞)單增，f（x）在(0，

a 2

)單減，進(jìn)而根據(jù)分段函數(shù)最值的求法，可得當(dāng)

a 2

≥e⇒a≥2e2時(shí)，f_min（x）=f（e）=e²，當(dāng)1＜

a 2

＜e⇒2＜a＜2e2時(shí)，fmin(x)=f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，當(dāng)

a 2

≤1⇒0＜a≤2時(shí)，f_min（x）=f（1）=1+a．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=

x2+2lnx-2，x≥e x2-2lnx+2，0＜x＜e

當(dāng)x＞e時(shí)，f′(x)=2x+

2

x

=

2x2+2

x

＞0恒成立，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
令f′（x）＞0得1＜x＜e
又

lim

x→e-

f(x)=

lim

x→e+

f(x)=f(e)=e2，
故f（x）在x=e處連續(xù)，
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x＞e時(shí)，f′(x)=2x+

a

x

＞0，故f（x）在（e，+∞）單增
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，
令f′(x)=

2x2-a

x

＞0⇒x＞

a 2

則f（x）在(

a 2

，+∞)單增，
f（x）在(0，

a 2

)單減．
又f（x）在x=e處連續(xù)．
故，當(dāng)

a 2

≥e⇒a≥2e2時(shí)，
f_min（x）=f（e）=e²
當(dāng)1＜

a 2

＜e⇒2＜a＜2e2時(shí)，
fmin(x)=f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

當(dāng)

a 2

≤1⇒0＜a≤2時(shí)，
f_min（x）=f（1）=1+a

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中利用零點(diǎn)分段法，將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，是解答本題的關(guān)鍵，另外解答時(shí)要注意函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），以免產(chǎn)生錯(cuò)誤．