已知方向向量為
V
=(1,
3
)
的直線l過橢圓C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點以及點(0,-2
3
),直線l與橢圓C交于A、B兩點,且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為4
6

(1)求橢圓C的方程;
(2)過左焦點F1且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點,
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0
(O坐標原點),求直線m的方程.
分析:(1)l:y=
3
x-2
3
,直線l與x軸交點即為橢圓的右焦點F2(2,0),故c=2,由已知△F1AB周長為4
6
,知a=
6
,由此能求出橢圓方程.
(2)橢圓的左焦點為F1(-2,0),則直線m的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
12k2
3k2+1
x1x2=
12k2-6
3k2+1
,由此能求出m的方程.
解答:解:(1)l:y=
3
x-2
3
,
直線l與x軸交點即為橢圓的右焦點F2(2,0),
∴c=2,
由已知△F1AB周長為4
6
,
則4a=4
6
,即a=
6
,
∴b=
6-4
=
2
,
故橢圓方程為
x2
6
+
y2
2
=1

(2)橢圓的左焦點為F1(-2,0),則直線m的方程為y=k(x+2),
代入橢圓方程,得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
12k2
3k2+1
,x1x2=
12k2-6
3k2+1

OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
=
4
6
cos∠MON
3sin∠MON
=|
OM
|•|
ON
|cos∠MON≠0,
|
OM
|•|
ON
|
sib∠MON=
4
3
6
,即S△OMN=
2
3
6
,
|MN|=
1+k2
•|x1-x2|
=
2
6
(1+k2)
3k2+1
,
原點O到m的距離d=
|2k|
1+k2

S△OMN=
1
2
|MN|d
=
2
6
(1+k2)
3k2+1
|2k|
1+k2
=
2
3
6
,
解得k=±
3
3
,
∴m的方程為y=±
3
3
(x+2)
點評:本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知方向向量為
v
=(1,
3
)
的直線l過點(0,-2
3
)
和橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的右焦點,且橢圓的離心率為
6
3

(1)求橢圓C的方程:
(2)若已知點M,N是橢圓C上不重合的兩點,點D(3,0)滿足
DM
DN
,求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知方向向量為v=(1,
3
)的直線l過點(0,-2
3
)和橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點,且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是否存在過點E(-2,0)的直線m交橢圓C于點M、N,滿足
OM
ON
=
4
3
6
.cot∠MON≠0(O為原點).若存在,求直線m的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知方向向量為
v
=(2,2
3
)的直線l過點(0,-2
3
)和橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點,且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.
(1)寫出直線l的方程      
(2)求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知方向向量為
v
=(1,
3
)
的直線l過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點以及點(0,-2
3
),橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.
(1)求橢圓C的方程.
(2)是否存在過點E(-2,0)的直線m交橢圓C于點M、N,使△MON的面積為
2
3
6
,(O為坐標原點)?若存在,求出直線m的方程;若不存在,請說明理由.

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