Question

已知橢圓x²+2y²=a²（a＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線y=k（x-1）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問，是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得對(duì)任意的k∈R，

MA

•

MB

為定值，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓x²+2y²=a²（a＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，建立方程，求出a，b，則橢圓方程可知．
（II）直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于a的一元二次方程，求出x₁+x₂，x₁x₂，求出

MA

•

MB

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的短半軸為b，半焦距為c，
則b2=

a2

2

，由c²=a²-b²得c2=a2-

a2

2

=

a2

2

，
由

1

2

×b×2c=4解得a²=8，b²=4，則橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．----------（6分）
（2）由

y=k(x-1) x2+2y2=8

得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得：x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-8

2k2+1

，
∴

MA

•

MB

=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=x1x2-m(x1+x2)+m2+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+k2+m2
=(k2+1)

2k2-8

2k2+1

-(m+k2)

4k2

2k2+1

+k2+m2=-

(5+4m)k2+8

2k2+1

+m2，----------------（10分）
當(dāng)5+4m=16，即m=

11

4

時(shí)，

MA

•

MB

=-

7

16

為定值，所以，存在點(diǎn)M(

11

4

，0)
使得

MA

•

MB

為定值（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓方程的求法，以及動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)存在性問題的解法．做題時(shí)綜合運(yùn)用了向量數(shù)量積的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用．