Question

如果函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列條件：①在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，②在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），那么在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立，我們把這一規(guī)律稱(chēng)為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，并把其中的ξ稱(chēng)為中值．有下列命題：
①若函數(shù)f（x）在（a，b）具有“Lg”性質(zhì)，ξ為中值，點(diǎn)A（a，f（a）），B（b，f（b）），則直線AB的斜率為f′（ξ）；
②函數(shù)y=在（0，2）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，且中值ξ=，f′（ξ）=-；
③函數(shù)f（x）=x³在（-1，2）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，但中值ξ不唯一；
④若定義在[a，b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f（x）對(duì)任意的x1、x2∈[a，b]，x1＜x2，有[f（x1）+f（x2）]＜f（）恒成立，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，且必有中值ξ=．
其中你認(rèn)為正確的所有命題序號(hào)是 ________．

Answer 1

①②
分析：對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行逐一判定是否滿足函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，對(duì)于①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行判定，對(duì)于②，函數(shù)y在（0，2）上連續(xù)且可導(dǎo)，代值計(jì)算可得兩端點(diǎn)連線的斜率存在x=時(shí)的導(dǎo)數(shù)值與之相等，對(duì)于③，舉反例進(jìn)行判定即可，對(duì)于④，只能保證f（x）是上凸函數(shù)，不能保證中值一定在中點(diǎn)處進(jìn)行判定．
解答：對(duì)于①，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義立即可得正確；
對(duì)于②，函數(shù)y在（0，2）上連續(xù)且可導(dǎo)，代值計(jì)算可得兩端點(diǎn)連線的斜率為-
又y'=，當(dāng)x=時(shí)，y'=-，故②正確．
對(duì)于③，兩端點(diǎn)連線斜率為3
而f'（x）=3x²，令3x²=3，x=±1，在（-1，2）內(nèi)只有一個(gè)中值ξ=1，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，[f（x₁）+f（x₂）]＜f（）只能保證f（x）是上凸函數(shù)，不能保證中值一定在中點(diǎn)處．④錯(cuò)誤
故答案為：①②
點(diǎn)評(píng)：本題題意比較新穎，主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題和直線的斜率，屬于中檔題．