Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點為F₁（-1，0），且橢圓上的點到焦點的距離的最小值為$\sqrt{2}-1$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)直線l過點$（{0，\sqrt{2}}）$且與橢圓C₁相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出c，a，然后求出b，即可得到橢圓方程．
（2）判斷直線的斜率是存在的，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用相切判別式為0，求解直線斜率得到直線方程．

解答 解：（1）橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點為F₁（-1，0），可得c=1，
且橢圓上的點到焦點的距離的最小值為$\sqrt{2}-1$．即a-c=$\sqrt{2}-1$，∴a=$\sqrt{2}$，b=1．
橢圓C₁的方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
 （2）由題意，顯然設(shè)直線l必存在斜率，又直線過點$（{0，\sqrt{2}}）$，
∴設(shè)所求直線l的方程為：$y=kx+\sqrt{2}$，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+\sqrt{2}\end{array}\right.$，
消元化簡得：$（{2{k^2}+1}）{x^2}+4\sqrt{2}kx+2=0$，
要使直線l與此橢圓相切，只需：$△={（{4\sqrt{2}k}）^2}-4（{2{k^2}+1}）×2=0$，
解得${k^2}=\frac{1}{2}，k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以所求直線方程為：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\sqrt{2}或y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\sqrt{2}$，
即：$x-\sqrt{2}y+2=0或x+\sqrt{2}y+2=0$（12分）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力．