Question

已知定點(diǎn)A（4，0）到等軸雙曲線x²-y²=a²（a＞0）上的點(diǎn)的最近距離為

5

，求此雙曲線的方程，并求此雙曲線上到點(diǎn)A的距離為

5

的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是雙曲線x²-y²=a²上任意一點(diǎn)，表示出雙曲線上到點(diǎn)A的距離，配方，分類討論，可求雙曲線的方程．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是雙曲線x²-y²=a²上任意一點(diǎn)，
則|AP|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+（x²-a²）=2（x-2）²+8-a²
∵|x|≥a，
∴（1）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，
在x=2時(shí)，|AP

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2 min

=8-a2=5，
∴a2=3，a=

3

，
此時(shí)雙曲線方程為x²-y²=3，
雙曲線上離A距離為

5

的點(diǎn)為（2，1）或（2，-1）
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，在x=a時(shí)，|AP

|

2 min

=2(a-2)2+8-a2=5，
∴a=4+

5

．
此時(shí)雙曲線方程為x2-y2=21+8

5

，
雙曲線上離A距離為

5

的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4+

5

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．