Question

14．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（4）=f（-2）=0，在區(qū)間（-∞，-3）與[-3，0]上分別遞增和遞減，則不等式xf（x）＞0的解集為（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），畫出f（x）的單調(diào)性示意圖，由不等式xf（x）＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$②．，分別求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（4）=f（-2）=0，
可得函數(shù)的圖象關于y軸對稱，
且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），
在區(qū)間（-∞，-3）與[-3，0]上分別遞增和遞減，畫出f（x）的單調(diào)性示意圖，如圖：
則由不等式xf（x）＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$②．
解①求得2＜x＜4，解②求得x＜-4 或-2＜x＜0．
綜上可得，不等式的解集為：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4），
故答案為：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)的零點，屬于中檔題．