Question

2．雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)是F_l，F(xiàn)₂，拋物線N：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)P是雙曲線M與拋物線N的一個(gè)交點(diǎn)，若PF₁的中點(diǎn)在y軸上，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)，由題意可得p=2c，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P的橫坐標(biāo)為c，即有PF₂⊥x軸，可得PF₂=p=2c，
運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：拋物線N：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
而F₂（c，0），即有c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
由PF₁的中點(diǎn)在y軸上，可得P的橫坐標(biāo)為c，
即有PF₂⊥x軸，可得PF₂=p=2c，
即有PF₁=$\sqrt{2}$PF₂=2$\sqrt{2}$c，
由雙曲線的定義，可得PF₁-PF₂=2a，
即有（2$\sqrt{2}$-2）c=2a，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查雙曲線的定義，以及化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．