Question

2．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的方程是（x-2）²+（y-l）²=4，直線l經(jīng)過點P（3，$\sqrt{3}$），傾斜角為$\frac{π}{6}$，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）寫出曲線C的極坐標方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|OA|•|OB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的方程是（x-2）²+（y-l）²=4，展開把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標方程．由于直線l經(jīng)過點P（3，$\sqrt{3}$），傾斜角為$\frac{π}{6}$，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（II）直線l的極坐標方程為：$θ=\frac{π}{6}$，代入曲線C的極坐標方程可得：${ρ}^{2}-（1+\sqrt{3}）ρ$+1=0，利用|OA||OB|=|ρ₁ρ₂|即可得出．

解答 解（I）曲線C的方程是（x-2）²+（y-l）²=4，
展開可得：x²+y²-4x-2y+1=0，
把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標方程ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
由于直線l經(jīng)過點P（3，$\sqrt{3}$），傾斜角為$\frac{π}{6}$，
可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（II）直線l的極坐標方程為：$θ=\frac{π}{6}$，
代入曲線C的極坐標方程可得：${ρ}^{2}-（1+\sqrt{3}）ρ$+1=0，
∴ρ₁ρ₂=1．
∴|OA||OB|=|ρ₁ρ₂|=1．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數(shù)方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．