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11.函數(shù)f(x)=eax-1alnx(a>0)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.0<a≤1eB.0<a≤1e2C.a≥1eD.a≥1e2

分析 先考慮函數(shù)f(x)=ax與g(x)=logax(a>1)圖象僅有一個(gè)交點(diǎn),且在公共點(diǎn)處有公共的切線,a的值,再利用換元法,即可得出結(jié)論.

解答 解:先考慮函數(shù)f(x)=ax與g(x)=logax(a>1)圖象僅有一個(gè)交點(diǎn),
且在公共點(diǎn)處有公共的切線,a的值.
兩函數(shù)互為反函數(shù),則該切線即為y=x,設(shè)切點(diǎn)A,
可求出A(e,e),此時(shí)a=e1e
若a>e1e時(shí),則f(x)=ax與g(x)=logax(a>1)無(wú)公共點(diǎn);
若1<a<e1e時(shí),則f(x)=ax與g(x)=logax(a>1)有兩個(gè)公共點(diǎn).
對(duì)f(x)=eax-1alnx(a>0),換元令t=ea,即得tx=logtx,
由上知1<ea=t≤e1e,得0<a≤1e
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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