Question

若f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），則下列各選項(xiàng)不恒成立的是（　�。�

• A、f（0）=0
• B、f（3）=3f（1）
• C、f（

  1

  2

  ）=

  1

  2

  f（1）
• D、f（-x）．f（x）＜0

Answer 1

分析：由已知中f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），令x=y=0，可以判斷A的真假；令3=2+1=（1+1）+1，可以判斷B的真假；令1=

1

2

+

1

2

，可以判斷C的真假；令x=0，結(jié)合A的結(jié)論，可以判斷D的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，故A正確；
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=f（1+1）+F（1）=3f（1），故B正確；
f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2f（

1

2

），故C正確；
而當(dāng)x=0時(shí)，f（-x）．f（x）=0，f（-x）．f（x）＜0不成立，故D不恒成立
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，在處理抽象函數(shù)的函數(shù)值求值及關(guān)系判斷，奇偶性、單調(diào)性的證明時(shí)，“湊”的思想是最重要的．如判斷A時(shí)令x=y=0，就湊出了f（0）．