Question

平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓把平面分成n²－n+2部分.

Answer 1

證明：（1）當n=1時，1個圓把平面分成兩部分，而2=1²－1+2，所以n=1時命題成立.

（2）假設n=k時命題成立，即k個圓把平面分成k²－k+2部分.

第k+1個圓把k個圓分成2k條弧，每條弧都把它們所在的區(qū)域分成兩部分，因此，比k個圓時共增加了2k部分，即k²－k+2+2k=k²+k+2=（k+1）²－（k+1）+2.于是n=k+1時，命題成立.

由（1）（2）知對于所有n∈N^*，命題成立.