Question

6．某科研機構研發(fā)了某種高新科技產(chǎn)品，現(xiàn)已進入實驗階段．已知實驗的啟動資金為10萬元，從實驗的第一天起連續(xù)實驗，第x天的實驗需投入實驗費用為（px+280）元（x∈N^*），實驗30天共投入實驗費用17700元．
（1）求p的值及平均每天耗資最少時實驗的天數(shù)；
（2）現(xiàn)有某知名企業(yè)對該項實驗進行贊助，實驗x天共贊助（-qx²+50000）元（q＞0）．為了保證產(chǎn)品質量，至少需進行50天實驗，若要求在平均每天實際耗資最小時結束實驗，求q的取值范圍．（實際耗資=啟動資金+試驗費用-贊助費）

Answer 1

分析 （1））依題意得，試驗開始后，每天的試驗費用構成等差數(shù)列，公差為p，首項為p+280，可得方程，即可得出結論；
（2）設平均每天實際耗資為y元，則y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20-（-q{x}^{2}+50000）}{x}$=（10+q）x+$\frac{50000}{x}$+290，分類討論，可得結論．

解答 解：（1）依題意得，試驗開始后，每天的試驗費用構成等差數(shù)列，公差為p，首項為p+280，
∴試驗30天共花費試驗費用為30（p+280）+$\frac{30×9}{2}×p$=17700，
解得，p=20…（2分）
設試驗x天，平均每天耗資為y元，則
y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20}{x}$=10x+$\frac{100000}{x}$+290≥2290…（4分）
當且僅當10x=$\frac{100000}{x}$，即x=100時取等號，
綜上得，p=20，試驗天數(shù)為100天…（6分）
（2）設平均每天實際耗資為y元，則
y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20-（-q{x}^{2}+50000）}{x}$=（10+q）x+$\frac{50000}{x}$+290…（8分）
當x=$\sqrt{\frac{50000}{10+q}}$≥50，即0＜q≤10時，
y≥2$\sqrt{（10+q）•50000}$+290，因為0＜q≤10，
所以，y_min=2$\sqrt{（10+q）•50000}$+290≤2290，…（10分）
當x=$\sqrt{\frac{50000}{10+q}}$＜50，即q＞10時，當x=50時，y取最小值，
且y_min=（10+q）•50+$\frac{50000}{50}$+290＞2290，
綜上得，q的取值范圍為（0，10]…（12分）

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，確定函數(shù)解析式是關鍵．