Question

3．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，S₄=28，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=1，$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{2_{2}}$+…+$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{_{n+1}}$-1（n∈N^•）
（1）求a_n和b_n；
（2）記數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求a_n；求得b₂，再將n換為n-1，兩式相減可得nb_n=（n+1）b_n+1，推得nb_n=2b₂=1，即可得到b_n；
（2）求得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
由a₂=6，S₄=28，可得a₁+d=6，2a₁+3d=14，
解得a₁=4，d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=4+2（n-1）=2n+2；
由b₁=1，$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{2_{2}}$+…+$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{_{n+1}}$-1①
可得n=1時(shí)，$\frac{1}{_{1}}$=$\frac{1}{_{2}}$-1，
解得b₂=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n＞1時(shí)，$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{2_{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）_{n-1}}$=$\frac{1}{_{n}}$-1②
①-②可得$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$，
化為nb_n=（n+1）b_n+1，
即有nb_n=（n-1）b_n-1=（n-2）b_n-2=…=2b₂=1，
可得b_n=$\frac{1}{n}$，對(duì)n=1也成立．
則a_n=2n+2，b_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）；
（2）$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查下標(biāo)變換相減法，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．