Question

空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若AC+BD=a，AC•BD=b，則EG²+FH²=

1

2

a2-b

．

Answer 1

分析：通過(guò)三角形的中位線，判斷EFGH是平行四邊形，利用平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四個(gè)邊的平方和，即可求出結(jié)果．

解答：解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴HG、GF、FE、EH分別為△ADC、△BDC、△ABC、△ABD的中位線．
∴GF=HE=

1

2

BD，
HG=EF=

1

2

AC，因?yàn)锳C+BD=a，AC•BD=b，且平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四個(gè)邊的平方和，
∴EG²+FH²=2（EF²+FG²）=2（(

1

2

AC)2+(

1

2

BD)2）
=

1

2

(AC2+BD2)=

1

2

(AC+BD)2-AC•BD
=

1

2

a2-b．
故答案為：

1

2

a2-b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平形四邊形對(duì)角線的平方等于四個(gè)邊的平方和，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．