Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1+alnx．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），λ＝min{a+2，5}．（min{a，b}表示a，b中較小的數(shù)．）

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，設(shè)g（x）＝f（x）﹣x，求函數(shù)g（x）在[，]上的最值；

（2）當(dāng)x1時(shí)，證明：f（x）+x2λ（x﹣1）+2．

Answer 1

【答案】（1）最大值為，最小值0；（2）詳見解析．

【解析】

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，化簡(jiǎn)，通過g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值即可．

（2）①當(dāng)a+25即a3時(shí)，λ＝a+2．f（x）+x2λ（x﹣1）+2ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a0，設(shè)k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合a3，a＞3時(shí)，通過函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化證明即可．

解:（1）當(dāng)a＝0時(shí)，，

則g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，得x＝1，

當(dāng)x1時(shí)，g'（x）0；當(dāng)x1時(shí)，g'（x）0，

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

從而g（x）在上的最小值為g（1）＝0，

因?yàn)?/span>，，

所以，

從而g（x）在上的最大值為．

（2）①當(dāng)a+25,即a3時(shí)，λ＝a+2．f（x）+x2λ（x﹣1）+2ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a0，

設(shè)k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，

則，

令，

則，

因?yàn)?/span>x1，

所以x2ex﹣1+2x2＝x2（ex﹣1+2）3，

因?yàn)?/span>a3，

所以φ'（x）0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1且a＝3時(shí)，等號(hào)成立．

從而k'（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

注意到k'（1）＝1，所以k'（x）0，從而k（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

注意到k（1）＝0，所以k（x）0，原不等式成立．

②當(dāng)a+25即a＞3時(shí)，λ＝5,f（x）+x2λ（x﹣1）+2ex﹣1+alnx+x2﹣5x+30，

由（1）知ex﹣1x，及x1，a3，

所以ex﹣1+alnx+x2﹣5x+33lnx+x2﹣4x+3．

設(shè)h（x）＝3lnx+x2﹣4x+3，x1，

則，

所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

注意到h（1）＝0，

所以h（x）0，原不等式成立．

綜上，當(dāng)x1時(shí)，不等式f（x）+x2λ（x﹣1）+2成立．