Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足以下條件：①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠0）；②g（x）≠0；③f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x）．若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，則使log_ax＞1成立的x的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• D、（2，+∞）

Answer 1

分析：由條件①②，

f(x)

g(x)

=ax，又（

f(x)

g(x)

）′=

f′(x)•g(x)-f(x)•g′(x)

g 2(x)

，及由③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），可得出（

f(x)

g(x)

）′＜0，

f(x)

g(x)

是減函數(shù)，由此得a＜1
再有若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即可得出a的值．

解答：解：由條件①②，

f(x)

g(x)

=ax，又（

f(x)

g(x)

）′=

f′(x)•g(x)-f(x)•g′(x)

g 2(x)

，由③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），f'（x）•g（x）-f（x）•g'（x）＜0
可得出（

f(x)

g(x)

）′＜0，

f(x)

g(x)

是減函數(shù)，由此得a＜1
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a¹+a^-1=

5

2

，解得a=

1

2

或a=2
綜上得a=

1

2

∴l(xiāng)og

1

2

^x＞1=log 

1

2

1

2

，∴0＜x＜

1

2

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求解本題的關(guān)鍵是對(duì)①③進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出y=a^x是一個(gè)減函數(shù)，求出參數(shù)a的取值范圍來(lái)．本題容易因?yàn)樽冃尾划?dāng)而致單調(diào)性無(wú)法判斷，題目無(wú)法求解．做題時(shí)要注意靈活觀察，選擇變形的方向．