Question

6．已知A，B是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2n}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（n＞0）的左、右頂點，動點M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點P，記直線OM，PB的斜率分別為k₁，k₂，則k₁•k₂=-1．

Answer 1

分析 由題意可得A（-$\sqrt{2n}$，0），B（$\sqrt{2n}$，0），M（$\sqrt{2n}$，t），直線AM的方程為y=$\frac{t}{2\sqrt{2n}}$（x+$\sqrt{2n}$），代入橢圓方程，運用韋達定理可得P的坐標，再由直線的斜率公式，化簡整理可得所求之積．

解答 解：由題意可得A（-$\sqrt{2n}$，0），B（$\sqrt{2n}$，0），M（$\sqrt{2n}$，t），
直線AM的方程為y=$\frac{t}{2\sqrt{2n}}$（x+$\sqrt{2n}$），
代入橢圓方程x²+2y²=2n，可得（1+$\frac{{t}^{2}}{4n}$）x²+$\frac{{t}^{2}}{\sqrt{2n}}$x+$\frac{{t}^{2}-4n}{2}$=0，
由-$\sqrt{2n}$•x_P=$\frac{2n（{t}^{2}-4n）}{{t}^{2}+4n}$，
解得x_P=$\frac{\sqrt{2n}（4n-{t}^{2}）}{4n+{t}^{2}}$，y_P=$\frac{4nt}{4n+{t}^{2}}$，
即有k₁k₂=$\frac{t}{\sqrt{2n}}$•$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-\sqrt{2n}}$=$\frac{t}{\sqrt{2n}}$•$\frac{4nt}{-2\sqrt{2n}{t}^{2}}$
=$\frac{t}{\sqrt{2n}}$•$\frac{\sqrt{2n}}{-t}$=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查直線的斜率公式，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．