【題目】已知正三棱柱中,,點為的中點,點在線段上.
(Ⅰ)當時,求證;
(Ⅱ)是否存在點,使二面角等于60°?若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)存在點,當時,二面角等于.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)證明:連接,由為正三棱柱為正三角形,
又平面平面平面 .易得 丄平面 .(Ⅱ)假設存在點滿足條件,設.由丄平面,建立空間直角坐標系,求得平面的一個法向量為
,平面的一個法向量為 .
試題解析:(Ⅰ)證明:連接,
因為為正三棱柱,所以為正三角形,
又因為為的中點,所以,
又平面平面,平面平面,
所以平面,所以.
因為,所以,
所以在中,,
在中,,所以,即.
又,
所以丄平面,面,所以.
(Ⅱ)假設存在點滿足條件,設.
取的中點,連接,則丄平面,
所以,
分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系,
則,
所以,
設平面的一個法向量為,
則,令,得,
同理,平面的一個法向量為,
則,取,
∴.
∴,解得,
故存在點,當時,二面角等于.
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【題目】國慶期間,某旅行社組團去風景區(qū)旅游,若旅行團人數在 人或 人以下,每人需交費用為 元;若旅行團人數多于 人,則給予優(yōu)惠:每多 人,人均費用減少 元,直到達到規(guī)定人數 人為止.旅行社需支付各種費用共計 元.
Ⅰ 寫出每人需交費用 關于人數 的函數;
Ⅱ 旅行團人數為多少時,旅行社可獲得最大利潤?
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【題目】已知一次函數f(x)為增函數,且f(f(x))=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R).
(1)當x∈[-1,2]時,若不等式g(x)>0恒成立,求m的取值范圍;
(2)如果函數F(x)=f(x)g(x)為偶函數,求m的值;
(3)當函數f(x)和g(x)滿足f(g(x))=g(f(x))時,求函數的值域.
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【題目】已知橢圓的右焦點,橢圓的左,右頂點分別為.過點的直線與橢圓交于兩點,且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側的動點,且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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【題目】為了參加師大附中第30界田徑運動會的開幕式,高三年級某6個班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿,作為班旗的旗桿之用,它們的長度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(單位:米).
(Ⅰ)若從中隨機抽取兩根竹竿,求長度之差不超過0.5米的概率;
(Ⅱ)若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元,長度小于4米的竹竿價格為每根元.從這6根竹竿中隨機抽取兩根,若期望這兩根竹竿的價格之和為18元,求的值.
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