【題目】如圖,正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直,,MAB的中點(diǎn).

1)求證:;

2)求二面角的余弦值;

3)在線段EC上是否存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2);(3) 在線段EC上存在點(diǎn)P,理由見(jiàn)解析.

【解析】

1)推導(dǎo)出,從而平面ABCD,由此能證明

2)推導(dǎo)出,從而MBMC、ME兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.

3)求出和平面ABE的法向量,利用向量法能示出在線段EC上存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為,且

證明:MAB的中點(diǎn),,

平面平面ABCD,

平面平面平面ABE,

平面ABCD,平面ABCD

解:(2 平面ABCD,是正三角形,

、MC、ME兩兩垂直.

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

0,,0,0,,,0,

,0,

設(shè)y,是平面BCE的一個(gè)法向量,

,

,得,

軸與平面ABE垂直,1是平面ABE的一個(gè)法向量

,

二面角的余弦值為

3)假設(shè)在線段EC上存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為

0,,

設(shè),,

,

直線AP與平面ABE所成的角為,

,

,解得,

在線段EC上存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為,且

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(1)求證:;

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