Question

7．若存在實數(shù)x₀和正實數(shù)△x，使得函數(shù)f（x）滿足f（x₀+△x）=f（x₀）+4△x，則稱函數(shù)f（x）為“可翻倍函數(shù)”，則下列四個函數(shù)
①$f（x）=\sqrt{x}$；  ②f（x）=x²-2x，x∈[0，3]；
③f（x）=4sinx； ④f（x）=e^x-lnx．
其中為“可翻倍函數(shù)”的有①④（填出所有正確結論的番號）．

Answer 1

分析 假設是可翻倍函數(shù)，從而可得f（x₀+△x）=$\sqrt{{x}_{0}+△x}$，f（x₀）+4△x=4△x+$\sqrt{{x}_{0}}$，從而化簡可得4（$\sqrt{{x}_{0}+△x}$+$\sqrt{{x}_{0}}$）=1，存在即可；從而依次判斷即可．

解答 解：假設是可翻倍函數(shù)，
而f（x₀+△x）=$\sqrt{{x}_{0}+△x}$，f（x₀）+4△x=4△x+$\sqrt{{x}_{0}}$，
故$\sqrt{{x}_{0}+△x}$-$\sqrt{{x}_{0}}$=4△x，
故$\frac{△x}{\sqrt{{x}_{0}+△x}+\sqrt{{x}_{0}}}$=4△x，
故4（$\sqrt{{x}_{0}+△x}$+$\sqrt{{x}_{0}}$）=1，
故x₀=$\frac{1}{1{2}^{2}}$，△x=3•$\frac{1}{1{2}^{2}}$時，成立，故①正確；
而f（x₀+△x）=（x₀+△x）²-2（x₀+△x），f（x₀）+4△x=（x₀）²-2x₀+4△x，
故2x₀△x+△x²-6△x=0，
故x₀=$\frac{6△x-{△}^{2}x}{2△x}$=3-$\frac{△x}{2}$，
故x₀+△x=3-$\frac{△x}{2}$+△x=3+$\frac{△x}{2}$＞3，
故②不成立；
同理可得，③不正確，④正確；
故答案為：①④．

點評 本題考查了學生的學習能力及函數(shù)的性質的判斷的應用，屬于中檔題．