Question

13．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數(shù)據(jù)顯示，天貓?jiān)┊?dāng)天全天的成交金額為315.5億元．為了了解網(wǎng)購(gòu)者一次性購(gòu)物情況，某統(tǒng)計(jì)部門(mén)隨機(jī)抽查了1月1日100名網(wǎng)購(gòu)者的網(wǎng)購(gòu)情況，得到如表數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，已知網(wǎng)購(gòu)金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4．

網(wǎng)購(gòu)金額（元）	頻數(shù)	頻率
（0，500]	5	0.05
（500，1000]	x	p
（1000，1500]	15	0.15
（1500，2000]	25	0.25
（2000，2500]	30	0.3
（2500，3000]	y	q
合計(jì)	100	1.00

（1）先求出x，y，p，q的值，再將如圖3所示的頻率分布直方圖繪制完整；
（2）對(duì)這100名網(wǎng)購(gòu)者進(jìn)一步調(diào)查顯示：購(gòu)物金額在2000元以上的購(gòu)物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人，購(gòu)物金額在2000元以下（含2000元）的購(gòu)物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)？

x	網(wǎng)齡3年以上	網(wǎng)齡不足3年	合計(jì)
購(gòu)物金額在2000元以上	35
購(gòu)物金額在2000元以下		20
總計(jì)			100

參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（3）從這100名網(wǎng)購(gòu)者中根據(jù)購(gòu)物金額分層抽出20人給予返券獎(jiǎng)勵(lì)，為進(jìn)一步激發(fā)購(gòu)物熱情，在（2000，2500]和（2500，3000]兩組所抽出的8人中再隨機(jī)抽取2人各獎(jiǎng)勵(lì)1000元現(xiàn)金，求（2000，2500]組獲得現(xiàn)金將的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）求出網(wǎng)購(gòu)金額在2000元以上的人數(shù)，可得x，y的值，由此能求出x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）由數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，利用公式，可得結(jié)論．
（3）（2000，2500]組獲獎(jiǎng)人數(shù)X為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，即可得出（2000，2500]組獲得現(xiàn)金將的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）因?yàn)榫W(wǎng)購(gòu)金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，
所以網(wǎng)購(gòu)金額在（2500，3000]的頻率為0.4-0.3=0.1，
即q=0.1，且y=100×0.1=10，
從而x=15，p=0.15，相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖2所示．

…（4分）
（2）由題設(shè)列聯(lián)表如下

	網(wǎng)齡3年以上	網(wǎng)齡不足3年	合計(jì)
購(gòu)物金額在2000元以上	35	5	40
購(gòu)物金額在2000元以下	40	20	60
合計(jì)	75	25	100

…（7分）
所以K²=$\frac{100×（35×20-40×5）^{2}}{75×25×40×60}$≈5.56＞5.024
所以據(jù)此列聯(lián)表判斷，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)．…（8分）
（3）在（2000，2500]和（2500，3000]兩組所抽出的8人中再抽取2人各獎(jiǎng)勵(lì)1000元現(xiàn)金，則（2000，2500]組獲獎(jiǎng)人數(shù)X為0，1，2，
且P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{15}{28}$，
故（2000，2500]組獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{28}$+1000$\frac{3}{7}$+2000×$\frac{15}{28}$=1500．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．