Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞1)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）用奇偶性定義判斷，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看-x與x函數(shù)值之間的關(guān)系；
（2）可用單調(diào)性定義，先任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)；也可以用導(dǎo)數(shù)法，導(dǎo)數(shù)恒大于零，則說明函數(shù)是增函數(shù)．
（3）由當(dāng)x∈R時(shí)，a^x＞0，我們用有界法，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，ax=

1+y

1-y

，則有a^x＞0等價(jià)于

1+y

1-y

＞0求解．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽
又f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=-(

ax-1

ax+1

)=-f(x)
所以是奇函數(shù)．
（2）f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

∵a＞1
∴l(xiāng)na＞0
∴f′（x）＞0
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞1)可轉(zhuǎn)化為：ax=

1+y

1-y

∵a^x＞0
∴

1+y

1-y

＞0
解得：-1＜y＜1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，只有定義法；考查函數(shù)單調(diào)性的證明，有定義法和導(dǎo)數(shù)法，考查值域的求法，常用方法有：配方法，換元法，判別式法，有界性法，分離常數(shù)法等等．