【錯解分析】由對稱軸是x=
,可知2×
+φ使f(x)取最值,即
+φ=kπ+
.(k∈Z),從而可求φ;由sinx的單增區(qū)間可求f(x)=sin(2x+φ)的單增區(qū)間.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2,直線5x-2y+c=0的斜率為
>2說明直線和f(x)的圖象不能相切.
【正解】(Ⅰ)解法1:因為x=
是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸,
所以sin(2·
+φ)=±1, 則有
+φ=kπ+
,k∈Z.
因為-π<φ<0, 所以φ=-
解法2:函數(shù)y="sin" 2x圖像的對稱軸為x=
+
,k∈Z.
y=sin(2x+φ)的圖像由y="sin" 2x的圖像向左平移
得到,
所以有
+
-
=
k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=
.
解法3:因為x=
是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸. 所以f(
-x)=f(
+x).
即sin[2(
-x)+φ]=sin[2(
+x)+φ],
于是有2(
-x)+φ=2kπ+2(
+x)+φ(舍去),
或[2(
-x)+φ]+[2(
+x)+φ]=2kπ+π.
因為-π<φ<0,∴φ=
(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)知φ=-
π,因此y=sin(2x-
π),
由題意得2kπ-
≤2x-
π≤2kπ+
,(k∈Z),
所以函數(shù)y=sin(2x-
π)的單調增區(qū)間為[kπ+
kπ+
π],k∈Z,
解法2:由y′=2cos(2x-
π)≥0可得,2kπ-
≤2x-
π≤2kπ+
k∈Z,
所以函數(shù)y=sin(2x-
π)的單調增區(qū)間為[kπ+
,kπ+
π] k∈Z,
(Ⅲ)解法1:因為|y′|=|[sin(2x-
π)]′|=|2cos(2x-
π)|≤2,
所以曲線y=f(x)的切線斜率取值范圍為[-2,2],而直線5x-2y+c=0的斜率
>2,
所以直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-
π)的圖象不相切.
解法2:令F(x)=sin(2x-
π)-
,
則F′(x)=2cos(2x-
π)-
,
∵-1≤cos(2x-
π)≤1,F(xiàn)′(x)≠0.
則直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-
π)的圖像不相切.
【點評】本題第(Ⅰ)(Ⅱ)問是三角函數(shù)中最基本的問題,第(Ⅲ)問是考查一般函數(shù)在某點導數(shù)的幾何意義,涉及的都是一些基本的概念,也是每個同學應該掌握的.