對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定義:(1)設f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y=f'(x)的導數(shù),若方程f''(x)=0有實數(shù)解x,則稱點(x,f(x))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”;
定義:(2)設x為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,都有f(x+x)+f(x-x)=2f(x)成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(x,f(x))對稱.
已知f(x)=x3-3x2+2x+2,請回答下列問題:
(1)求函數(shù)f(x)的“拐點”A的坐標
(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結(jié)論(不必證明)
(3)寫出一個三次函數(shù)G(x),使得它的“拐點”是(-1,3)(不要過程)
【答案】
分析:(1)根據(jù)“拐點”的定義求出f''(x)=0的根,然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點”A的坐標.
(2)由(1)知“拐點”坐標是(1,2),然后計算f(1+x)+f(1-x)可得等于2f(1),根據(jù)定義(2)可得結(jié)論,一般地,三次函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d(a≠0)的“拐點”是
,它就是f(x)的對稱中心.
(3)根據(jù)“拐點”的定義可寫出符合條件的三次函數(shù).
解答:解:(1)依題意,得:f'(x)=3x
2-6x+2,∴f''(x)=6x-6.…(2分)
由f''(x)=0,即6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x
3-3x
2+2x+2的“拐點”坐標是(1,2).…(4分)
(2)由(1)知“拐點”坐標是(1,2).
f(1+x)+f(1-x)=(1+x)
3-3(1+x)
2+2(1+x)+2+(1-x)
3-3(1-x)
2+2(1-x)+2=2+6x
2-6-6x
2+4+4=4=2f(1),
由定義(2)知:f(x)=x
3-3x
2+2x+2關于點(1,2)對稱.…(8分)
一般地,三次函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d(a≠0)的“拐點”是
,它就是f(x)的對稱中心.…(10分)
(或者:任何一個三次函數(shù)都有拐點;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)…)都可以給分
(3)G(x)=a(x+1)
3+b(x+1)+3(a≠0)或?qū)懗鲆粋具體的函數(shù),
如G(x)=x
3+3x
2+3x+4或G(x)=x
3+3x
2-x.…(12分)
點評:本題在函數(shù)、導數(shù)、方程的交匯處命題,具有較強的預測性,而且設問的方式具有較大的開放性,情景新穎,解題的關鍵是:深刻理解函數(shù)“拐點”的定義和函數(shù)圖象的對稱中心的意義.其本質(zhì)是:任何一個三次函數(shù)都有拐點;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;且任何一個三次函數(shù)的拐點就是它的對稱中心,即
.