分析 (Ⅰ)運用離心率公式和點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),討論直線AB的斜率為0和不為0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,結合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法,可得面積的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由已知,e=ca=√32,a2-b2=c2,
∵點(1,√32)在橢圓上,
∴1a2+34b2=1,解得a=2,b=1.
∴橢圓方程為x24+y2=1;
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AB的垂直平分線過點(0,12),∴AB的斜率k存在.
當直線AB的斜率k=0時,x1=-x2,y1=y2,
∴S△AOB=12•2|x1|•|y1|=|x1|•√1−x124
=12√x12(4−x12)≤12•x12+4−x122=1,
當且僅當x12=4-x12,取得等號,
∴x1=±√2時,(S△AOB)max=1;
當直線AB的斜率k≠0時,設l:y=kx+m(m≠0).
{y=kx+mx2+4y2=4消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由△>0可得4k2+1>m2①,
x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2,可得x1+x22=−4km1+4k2,
y1+y22=kx1+x22+m=m1+4k2,
∴AB的中點為(−4km1+4k2,m1+4k2),
由直線的垂直關系有k•m1+4k2−12−4km1+4k2=−1,化簡得1+4k2=-6m②
由①②得-6m>m2,解得-6<m<0,
又O(0,0)到直線y=kx+m的距離為d=|m|√1+k2,
|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2•4•√1+4k2−m2(1+4k2)2,
S△AOB=12|AB|d=12√1+k2•4•√1+4k2−m2(1+4k2)2•|m|√1+k2
=2√−6m−m236m2|m|=13√−(m+3)2+9,
∵-6<m<0,∴m=-3時,(S△AOB)max=13×3=1.
由m=-3,∴1+4k2=18,解得k=±√172;
即k=±√172時,(S△AOB)max=1;
綜上:(S△AOB)max=1.
點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程,考查三角形的面積的最值的求法,注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,以及基本不等式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
組別 | 每位成員從啟動調(diào)查到完成報告所用的時間(單位:天) | ||||||
甲小組 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
乙小組 | 12 | 13 | 15 | 16 | 17 | 14 | a |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {x|-2≤x<4} | B. | {x|-2<x<3} | C. | {x|-2<x<-1} | D. | {x|-2<x<-1或3<x<4} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -1+2i | B. | 1-2i | C. | -2+i | D. | 2-i |
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