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11.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,且點132在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)直線l與橢圓E交于A、B兩點,且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點012.求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值.

分析 (Ⅰ)運用離心率公式和點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),討論直線AB的斜率為0和不為0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,結合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法,可得面積的最大值.

解答 解:(Ⅰ)由已知,e=ca=32,a2-b2=c2,
∵點132在橢圓上,
1a2+34b2=1,解得a=2,b=1.
∴橢圓方程為x24+y2=1;
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AB的垂直平分線過點012,∴AB的斜率k存在.
當直線AB的斜率k=0時,x1=-x2,y1=y2,
∴S△AOB=12•2|x1|•|y1|=|x1|•1x124
=12x124x1212x12+4x122=1,
當且僅當x12=4-x12,取得等號,
x1=±2時,(S△AOBmax=1;
當直線AB的斜率k≠0時,設l:y=kx+m(m≠0).
{y=kx+mx2+4y2=4消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由△>0可得4k2+1>m2①,
x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m241+4k2,可得x1+x22=4km1+4k2,
y1+y22=kx1+x22+m=m1+4k2,
∴AB的中點為4km1+4k2m1+4k2,
由直線的垂直關系有km1+4k2124km1+4k2=1,化簡得1+4k2=-6m②
由①②得-6m>m2,解得-6<m<0,
又O(0,0)到直線y=kx+m的距離為d=|m|1+k2
|AB|=1+k2|x1x2|=1+k241+4k2m21+4k22,
SAOB=12|AB|d=121+k241+4k2m21+4k22|m|1+k2
=26mm236m2|m|=13m+32+9
∵-6<m<0,∴m=-3時,SAOBmax=13×3=1
由m=-3,∴1+4k2=18,解得k=±172;
k=±172時,(S△AOBmax=1;        
綜上:(S△AOBmax=1.

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程,考查三角形的面積的最值的求法,注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,以及基本不等式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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