是否存在最大的正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9對任意正整數(shù)n都能被m整除？

解：f（1）=（2+7）•3+9=36，
f（2）=（2×2+7）•32+9=36×3，
f（3）=（2×3+7）•33+9=36×10，
猜測存在m=36（2分）
①當n=1時，f（1）=（2+7）•3+9=36能被36整除（1分）
②假設n=k時，f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除
當n=k+1時，f（k+1）=[2（k+1）+7）]•3k+1+9
=3[（2k+7）3k+9+（2×3k-9）]+9
=3[（2k+7）3k+9]+6×3k-18
=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）（3分）
∵k∈N*，∴3k-1-1為偶數(shù)，18（3k-1-1）能被36整除（2分）
∴f（k+1）=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）能被36整除（1分）
∴n=k+1時，猜測也成立
由①②可知對任意正整數(shù)n猜測都成立
故存在m=36（1分）
分析：計算f（1），f（2），f（3）猜測存在m=36，然后直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟證明即可．
點評：本題考查數(shù)學歸納法證明問題的步驟，證明整除問題的方法，注意n=k+1時必須用上假設，考查計算能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}前n項和為Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）．其中m為實常數(shù)，m≠-3且m≠0．
（1）求證：{an}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{an}的公比滿足q=f（m）且b1=a1，bn=
3
2
f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求{bn}的通項公式；
（3）若m=1時，設Tn=a1+2a2+3a3+…+nan（n∈N*），是否存在最大的正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Tn＞
k
8
成立，若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

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已知函數(shù)f（x）的定義域為N*，且f（x+1）=f（x）+x，f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式．
（2）設an=
1
f(n)
．(n∈N*，n≥2)，Sn=a2+a3+a 3+…+an，問是否存在最大的正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*均有Sn＞
m
2012
恒成立？若存在，求出m值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n,有Tn＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年陜西省寶雞中學高考數(shù)學模擬訓練（一）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的定義域為N*，且f（x+1）=f（x）+x，f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式．
（2）設，問是否存在最大的正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*均有恒成立？若存在，求出m值；若不存在請說明理由．

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