【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=60°,AC∩BD=O,將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B﹣ACD,點M是棱BC的中點,且DM=2 .
(1)求證:OM∥平面ABD;
(2)求證:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求點B到平面DOM的距離.
【答案】
(1)解:∵△ABC中,O為AC的中點,M為BC的中點,
∴OM∥AB.
∵OM平面ABD,AB平面ABD,
∴OM∥平面ABD
(2)解:∵在菱形ABCD中,OD⊥AC,
∴在三棱錐B﹣ACD中,OD⊥AC.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4.
∵O為BD的中點,∴OD= BD=2.
∵O為AC的中點,M為BC的中點,∴OM= AB=2
又∵OD2+OM2=8=DM2,∴∠DOM=90°,即OD⊥OM.
∵AC平面ABC,OM平面ABC,AC∩OM=O,
∴OD⊥平面ABC.
∵OD平面DOM,∴平面DOM⊥平面ABC
(3)解:由(2)得OD⊥平面BOM,可得OD是三棱錐D﹣BOM的高.
設(shè)點B到面DOM距離為h,由OD=2,
∴ ,
∵因為VB﹣DOM=VD﹣BOM,
∴ S△DOMh= S△ABCOD,即 ,解得 ,
即點B到平面DOM的距離等于
【解析】(1)根據(jù)三角形的中位線定理,可得OM∥AB.再由線面平行判定定理,得到OM∥平面ABD;(2)在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4,OD= BD=2,從而算出∠DOM=90°,即OD⊥OM.根據(jù)OD⊥AC,利用線面垂直判定定理得到OD⊥平面ABC,進(jìn)而得出平面DOM⊥平面ABC.(3)分別算出△DOM的△ABC面積,利用三棱錐B﹣DOM與三棱錐D﹣BOM體積相等加以計算,可得點B到平面DOM的距離.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明.
(2)若,,求的值.
(3)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,且0<x1<x2 , 給出下列命題: ① <1
②x2f(x1)<x1f(x2)
③當(dāng)lnx>﹣1時,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)
④x1+f(x1)<x2+f(x2)
其中正確的命題序號是 .
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A.y=x3+x
B.y=﹣
C.y=sinx
D.
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【題目】函數(shù)f(x)的定義域為D,若對于任意x1 , x2∈D,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù),且滿足以下三個條件:①f(0)=0;② ;③f(1﹣x)=1﹣f(x).則 = .
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【題目】電腦游戲中,“主角”的生存機(jī)會往往被預(yù)先設(shè)定,如某槍戰(zhàn)游戲中,“主角”被設(shè)定生存機(jī)會5次,每次生存承受射擊8槍(被擊中8槍則失去一次生命機(jī)會).假設(shè)射擊過程均為單子彈發(fā)射,試為“主角”耗用生存機(jī)會的過程設(shè)計一個算法,并畫出程序框圖.
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【題目】某批產(chǎn)品共有1 564件,產(chǎn)品按出廠順序編號,號碼從1到1 564,檢測員要從中抽取15件產(chǎn)品作檢測,請給出一個系統(tǒng)抽樣方案.
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【題目】某幼兒園為訓(xùn)練孩子的數(shù)字運算能力,在一個盒子里裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的卡片各兩張,讓孩子從盒子里任取3張卡片,按卡片上的最大數(shù)字的9倍計分,每張卡片被取出的可能性都相等,用X表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字
(1)求取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)若孩子取出的卡片的計分超過30分,就得到獎勵,求孩子得到獎勵的概率.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程: ,直線l的參數(shù)方程為 .
(1)若直線l與曲線C只有一個公共點,求實數(shù)a;
(2)若點P,Q分別為直線l與曲線C上的動點,若 ,求實數(shù)a.
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