已知如圖,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABD=45°,∠CBD=30°.
(Ⅰ)異面直線AB、CD所成的角為α,異面直線AC、BD所成的角為β,求證:α=β;
(Ⅱ)求二面角B-AC-D的余弦值的絕對值.
(Ⅰ)證明:設(shè)BD的中點為O,∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠BDA=45°,即AB=AD,∴AO⊥BD.
∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥面BCD.
以過O點垂直于BD的直線為x軸,以直線BD為y軸,以直線OA為z,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)|
BD
|=4

A(0,0,2),B(0,-2,0),C(
3
,1,0),D(0,2,0)

AB
=(0,-2,-2),
AC
=(
3
,1,-2),
CD
=(-
3
,1,0)
BD
=(0,4,0)
,
cosα=|
AB
CD
|
AB
|•|
CD
|
|=
2
2
2
•2
=
2
4
cosβ=|
AC
BD
|
AC
|•|
BD
|
|=
4
2
2
•4
=
2
4

∵0°<α,β≤90°,∴α=β.…6分
(Ⅱ)設(shè)
m1
=(x1y1,z1),
m2
=(x2,y2,z2)
分別是平面ABC、平面ACD一個法向量,
m1
AB
,
m1
.
AC
,即
m1
AB
=
m1
.
AC
=0
,
-2y1-2z1=0,
3
x1+y1-2z1=0
,不妨取x1=-
3
,得
m1
=(-
3
,1,-1)

同理可求得
m2
=(1,
3
,
3
)

cos<
m1
,
m2
>=
m1
m2
|
m1
|•|
m2
|
=
-
3
5
7
=-
105
35

所以二面角B-AC-D的余弦值的絕對值為
105
35
.…12分.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)證明:CD⊥AE;
(2)證明:PD⊥平面ABE;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=
1
2
CD=a,PD=
2
a.
(1)若M為PA中點,求證:AC平面MDE;
(2)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小(理);
求二面角P-AC-D的正切值的大小(文).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2
3
,∠ABC=
π
3

(1)證明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A-A1C-B的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知等腰梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=1,高DO=1.以高線DO為折痕,將平面ADO折起,使得平面ADO⊥平面BCDO,點H為棱AC的中點.
(1)求直線OC與直線AB所成的余弦值;
(2)求平面ADO與平面ACB所成的銳二面角的余弦值;
(3)在平面ADO內(nèi)找一點G,使得GH⊥平面ACB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在邊長為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中,E是BC的中點,F(xiàn)是DD′的中點
(1)求證:CF平面A′DE
(2)求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點.
(Ⅰ)求證:PB1平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大;
(Ⅲ)在直線B1P上是否存在一點Q,使得DQ⊥平面A1BD,若存在,求出Q點坐標,若不存在請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在平面直角坐標中,的三個頂點A、B、C,下列命題正確的個數(shù)是(  )
(1)平面內(nèi)點G滿足,則G是的重心;(2)平面內(nèi)點M滿足,點M是的內(nèi)心;(3)平面內(nèi)點P滿足,則點P在邊BC的垂線上;
A.0             B.1               C.2              D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在平面直角坐標系中,O(0,0),P(6,8),將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后,得向量,則點的坐標是(   )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案