Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為2c，若直線y=x-c與橢圓C在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠F₁MF₂=2∠MF₁F₂，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  6

  -

  3

• B、

  3

  2

• C、

  6 - 3

  2

• D、

  6 - 2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：在△MF₁F₂中，由正弦定理可得

2c

sin2θ

=

|MF2|

sinθ

=

|MF1|

sin3θ

=

2a

sinθ+sin3θ

，可得e=

c

a

=

2sinθcosθ

4sinθ-4sin3θ

=

1

2cosθ

，而cosθ=cos15°=

6 + 2

4

，即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)∠MF₁F₂=θ．
∵tan3θ=1，
∴θ=15°．
∴cos30°=2cos²15°-1，
∴cos15°=

6 + 2

4

．
在△MF₁F₂中，由正弦定理可得

2c

sin2θ

=

|MF2|

sinθ

=

|MF1|

sin3θ

=

2a

sinθ+sin3θ

，
∴e=

c

a

=

2sinθcosθ

4sinθ-4sin3θ

=

1

2cosθ

=

2

6 + 2

=

6 - 2

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、橢圓的定義及其性質(zhì)、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．