Question

14．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，將△CDE沿DE翻折后，使之成為四棱錐C′-ABDE（如圖）．

（Ⅰ）求證：DE⊥平面BC′D；
（Ⅱ）設(shè)平面C′DE∩平面ABC′=l，求證：AB∥l；
（Ⅲ）若C′D⊥BD，AB=2，BD=3，F(xiàn)為棱BC′上一點(diǎn)，設(shè)$\frac{BF}{FC'}=λ$，當(dāng)λ為何值時(shí)，三棱錐C′-ADF的體積是1？

Answer 1

分析 （I）由DE∥AB，AB⊥BC可知DE⊥BC，故翻折后DE⊥BD，DE⊥C′D，得出DE⊥平面BC′D；
（II）由DE∥AB可知AB∥平面C′DE，由線面平行的性質(zhì)即可得到AB∥l；
（III）V_C′-ADF=V_A-DC′F=$\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB$，當(dāng)C′D⊥BD時(shí)，∠DC′F=45°，BC′=3$\sqrt{2}$，代入體積公式計(jì)算C′F，從而得出λ的值．

解答 證明：（Ⅰ）∵∠B=90°，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)
∴DE∥AB，
∴C'D⊥DE，BD⊥DE，又∵C'D∩BD=D，
∴DE⊥平面BC'D，
（Ⅱ）∵DE∥AB，DE?面C'DE，AB?面C'DE，
∴AB∥面C'DE，
又∵AB?面ABC'，面ABC'∩面C'DE=l，
∴AB∥l．
解：（III）∵DE⊥平面BC′D，DE∥AB，
∴AB⊥平面BC′D，
∴V_C′-ADF=V_A-DC′F=$\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB$=1，
∴S_△C′DF=$\frac{3}{2}$．
∵C′D⊥BD，C′D=BD=3，∴∠DC′B=45°，C′B=3$\sqrt{2}$．
∴S_△C′DF=$\frac{1}{2}×C′D×C′F×sin45°$=$\frac{3}{2}$．
解得C′F=$\sqrt{2}$，∴BF=BC′-C′F=2$\sqrt{2}$．
∴λ=$\frac{BF}{FC′}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．