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14.已知在△ABC中,∠B=90°,D,E分別為邊BC,AC的中點(diǎn),將△CDE沿DE翻折后,使之成為四棱錐C′-ABDE(如圖).

(Ⅰ)求證:DE⊥平面BC′D;
(Ⅱ)設(shè)平面C′DE∩平面ABC′=l,求證:AB∥l;
(Ⅲ)若C′D⊥BD,AB=2,BD=3,F(xiàn)為棱BC′上一點(diǎn),設(shè)\frac{BF}{FC'}=λ,當(dāng)λ為何值時(shí),三棱錐C′-ADF的體積是1?

分析 (I)由DE∥AB,AB⊥BC可知DE⊥BC,故翻折后DE⊥BD,DE⊥C′D,得出DE⊥平面BC′D;
(II)由DE∥AB可知AB∥平面C′DE,由線面平行的性質(zhì)即可得到AB∥l;
(III)VC′-ADF=VA-DC′F=\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB,當(dāng)C′D⊥BD時(shí),∠DC′F=45°,BC′=3\sqrt{2},代入體積公式計(jì)算C′F,從而得出λ的值.

解答 證明:(Ⅰ)∵∠B=90°,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn)
∴DE∥AB,
∴C'D⊥DE,BD⊥DE,又∵C'D∩BD=D,
∴DE⊥平面BC'D,
(Ⅱ)∵DE∥AB,DE?面C'DE,AB?面C'DE,
∴AB∥面C'DE,
又∵AB?面ABC',面ABC'∩面C'DE=l,
∴AB∥l.
解:(III)∵DE⊥平面BC′D,DE∥AB,
∴AB⊥平面BC′D,
∴VC′-ADF=VA-DC′F=\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB=1,
∴S△C′DF=\frac{3}{2}
∵C′D⊥BD,C′D=BD=3,∴∠DC′B=45°,C′B=3\sqrt{2}
∴S△C′DF=\frac{1}{2}×C′D×C′F×sin45°=\frac{3}{2}
解得C′F=\sqrt{2},∴BF=BC′-C′F=2\sqrt{2}
∴λ=\frac{BF}{FC′}=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定,線面平行的性質(zhì),棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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