Question

4．已知函數(shù)f（x）=mx³-3mx²（m∈R，m≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）當m＞0，若函數(shù)g（x）=f（x）+1-m有三個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，得到函數(shù)的極值，結合函數(shù)的零點問題得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，即3mx²-6mx＞0，
當m＞0時，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，解得0＜x＜2，則函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，2）；
綜上，當m＜0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ） 由g（x）=f（x）+1-m及f（x）=mx³-3mx²，
當m＞0，g（x）=mx³-3mx²+1-m，g′（x）=3mx（x-2），
當g′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)g（x）的單調增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當g′（x）＜0，得0＜x＜2，則函數(shù)g（x）的單調減區(qū)間是（0，2），
所以g（x）有極大值g（0）=1-m和極小值g（2）=1-5m，
因為g（x）有三個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=1-m＞0}\\{g（2）=1-5m＜0}\end{array}\right.$，
得：$\frac{1}{5}$＜m＜1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．