Question

4．已知函數(shù)f（x）=mx³-3mx²（m∈R，m≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0，若函數(shù)g（x）=f（x）+1-m有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，即3mx²-6mx＞0，
當(dāng)m＞0時(shí)，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當(dāng)m＜0時(shí)，解得0＜x＜2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）；
綜上，當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ） 由g（x）=f（x）+1-m及f（x）=mx³-3mx²，
當(dāng)m＞0，g（x）=mx³-3mx²+1-m，g′（x）=3mx（x-2），
當(dāng)g′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當(dāng)g′（x）＜0，得0＜x＜2，則函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，2），
所以g（x）有極大值g（0）=1-m和極小值g（2）=1-5m，
因?yàn)間（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=1-m＞0}\\{g（2）=1-5m＜0}\end{array}\right.$，
得：$\frac{1}{5}$＜m＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．