Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：
①cos²13°+cos²73°-cos13°cos73°；
②cos²15°+cos²75°-cos15°cos75°；
③cos²40°+cos²100°-cos40°cos100°；
④cos²（-30°）+cos²30°-cos（-30°）cos30°；
⑤cos²（-12°）+cos²48°-cos（-12°）cos48°．
（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：（1）這是一個(gè)利用三角函數(shù)公式進(jìn)行變換化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題，主要是抓住“角”之間的關(guān)系，聯(lián)想借助降冪公式及逆用兩角和與差的正余弦公式可求得結(jié)果；
（2）依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、角之間的關(guān)系，可以得到形如“cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的規(guī)律．然后利用和第（1）問(wèn)類(lèi)似的思路進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）對(duì)于①式，原式=cos²13°+cos²73°-cos13°cos（60°+13°）
=cos²13°+cos²73°-cos13°（

1

2

cos13°-

3

2

sin13°）
=

1

2

cos213°+

3

4

sin26°+cos²73°
=

1+cos26°

4

+

3

4

sin26°+

1+cos146°

2

=

3

4

+

1

2

(

1

2

cos26°+

3

2

sin26°)-

1

2

cos34°
=

3

4

+

1

2

(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-

1

2

cos34°
=

3

4

+

1

2

cos34°-

1

2

cos34°
=

3

4

．
（2）根據(jù)式子特點(diǎn)猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=

3

4

證明：原式左邊=cos²α+（cosαcos60°-sinαsin60°）²-cosα（cosαcos60°-sinαsin60°）
=cos²α+

1

4

cos2α-2×

1

2

×

3

2

sinαcosα+

3

4

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sinαcosα
=

3

4

cos2α+

3

4

sin2α-

3

2

sinαcosα+

3

2

sinαcosα
=

3

4

(sin2α+cos2α)
=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理一般是先根據(jù)個(gè)別情況所體現(xiàn)出來(lái)的某些相同的規(guī)律，然后從這些已知的相同性質(zhì)規(guī)律推出一個(gè)明確的一般性規(guī)律或性質(zhì)．此題是一個(gè)三角函數(shù)式，所以重點(diǎn)抓住角之間的關(guān)系，式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行歸納，得出一般性結(jié)論．