Question

已知f（x）=

x2-4x+3，  x≤0 -x2-2x+3，  x＞0

不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-2，0）
• B、（-∞，0）
• C、（0，2）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由分段函數(shù)知，分兩部分討論函數(shù)的單調(diào)性，從而可得f（x）在R上是減函數(shù)，化恒成立問題為x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；從而化為最值問題即可．

解答： 解：①當x≤0時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
故f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)；
②當x＞0時，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
又∵（0-2）²-1=-（0+1）²+4，
∴f（x）在R上是減函數(shù)，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化為
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故選D．

點評：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)應用及分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，同時考查了恒成立問題化為最值問題，屬于中檔題．