Question

關于x的不等式

.

x+m   2 1       x

.

＜0的解集為（-1，n）．
（1）求實數(shù)m、n的值；
（2）若z₁=m+ni，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂為純虛數(shù)，求tan(α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用二階矩陣的計算法則把原不等式化簡，然后根據(jù)解集為（-1，n），利用韋達定理列出關于m和n的方程，求出方程的解即可得到m與n的值；
（2）把（1）中求出的m與n的值代入到z₁=m+ni中確定出z₁，然后利用復數(shù)的乘法法則表示出z₁z₂，令實數(shù)部分等于0即可得到tanα的值，把所求的式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）原不等式等價于（x+m）x-2＜0，即x²+mx-2＜0（3分）
由題意得，

-1+n=-m -1×n=-2

解得m=-1，n=2．（5分）
（2）z₁=-1+2i，z₁z₂=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）（7分）
若z₁z₂為純虛數(shù)，則cosα+2sinα=0，即tanα=-

1

2

（9分）
所以tan(α-

π

4

)=

tanα-tan π 4

1+tanα•tan π 4

=

- 1 2 -1

1- 1 2

=-3（12分）

點評：此題考查學生掌握二階矩陣及復數(shù)的運算法則，靈活運用韋達定理及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．