已知斜率為k（k≠0）的直線l過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F且交拋物線于A、B兩點(diǎn)．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若﹣2＜k＜﹣1時(shí)，點(diǎn)M到直線l'：3x+4y﹣m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，求m的取值范圍．
解：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為O（x，y）；A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直線過拋物線y2=4x得焦點(diǎn)F（1，0），
∴設(shè)直線的方程為：y=k（x﹣1），①
將①2代入拋物線方程中可得：k2（x﹣1）2=4x，
∴k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，②
∴x1+x2=（2k2+4）=2+，
∵y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，
又∵x==1+，…③
y==，
∴，…④
∴將④代入③可得：x=1+，
∴y2=2x﹣2．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為：y2=2x﹣2．
（2）由（1）知，點(diǎn)M（，），
∵M(jìn)（，）到直線l'：3x+4y﹣m=0的距離d=，
∴點(diǎn)M到直線l'：3x+4y﹣m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，
∴，
∴，或，
即，或，
∴﹣2＜k＜﹣1，∴﹣＜＜4，
，
∴m，或m≥6，
∴m＜，
∴m≤﹣．
故m的取值范圍是{m|m≤﹣}．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為k（k≠0）的直線l過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F且交拋物線于A、B兩點(diǎn)．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若-2＜k＜-1時(shí)，點(diǎn)M到直線l'：3x+4y-m=0（m為常數(shù)，m＜
1
3
）的距離總不小于
1
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，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，右焦點(diǎn)F（1，0）．過點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M（2，0）是一個(gè)定點(diǎn)．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)（不同于A、B），記直線CD的斜率為k1．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）在直線l的斜率k變化的過程中，是否存在一個(gè)常數(shù)λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出這個(gè)常數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2
2
．斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求m的取值范圍．
（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C：
x2
4
+y2=1于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)．
（1）記直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，當(dāng)3（k1+k2）=8k時(shí)，證明：直線l過定點(diǎn)；
（2）若直線l過點(diǎn)D（1，0），設(shè)△OMD與△OND的面積比為t，當(dāng)k2＜
5
12
時(shí)，求t的取值范圍．

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