Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x，其中x∈R．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，x₀e^x₀）處的切線方程
（Ⅱ）如果過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線
（1）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，證明：-

1

e2

（a+4）＜b＜f（a）；
（2）當(dāng)a＜-2時(shí)，寫出b的取值范圍（不需要書寫推證過(guò)程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率k，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，x₀e^x₀）處的切線方程；
（Ⅱ）（1）切線過(guò)點(diǎn)（a，b），則存在x₀，使b=（x₀+1）e^x₀a-x₀²e^x0，若過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，記g（x₀）=（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x₀）的極值，得到極大值大于0，極小值小于0列出不等式，求出解集即可得證；
（2）方法同（1），可求出b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xe^x，
∴f′（x）=（x+1）e^x，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，x₀e^x₀）處的切線的斜率k=f′（x₀）=（x₀+1）e^x₀，
由點(diǎn)斜式寫出切線方程為y-x₀e^x₀=（x₀+1）e^x₀（x-x₀），即y=（x₀+1）e^x₀x-x₀²e^x0．
（Ⅱ）（1）如果切線過(guò)點(diǎn)（a，b），則存在x₀，使b=（x₀+1）e^x₀a-x₀²e^x0．
于是，若過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
記g（x₀）=（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b，則g'（x₀）=[x₀²+（2-a）x₀-2a]e^x₀，
令g'（x₀）=0，解得x₀=-2，或x₀=a∈（-2，0）
當(dāng)x₀∈（-∞，-2），（a，+∞）時(shí)g'（x₀）＞0，
當(dāng)x₀∈（-2，a）時(shí)g'（x₀）＜0，
∴當(dāng)x₀=-2時(shí)，g（x₀）取極大值，當(dāng)x₀=a時(shí)，g（x₀）取極小值，
如果過(guò)（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（x₀）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則

g(-2)＞0 g(a)＜0

即

(4+a)e-2+b＞0 -aea+b＜0

，則

b＞- 1 e2 (a+4) b＜aea=f(a)

，
即-

1

e2

（a+4）＜b＜f（a）；
（2）令g'（x₀）=0，解得x₀=-2，或x₀=a∈（-∞，-2）
當(dāng)x₀∈（-∞，a），（-2，+∞）時(shí)g'（x₀）＞0，
當(dāng)x₀∈（a，-2）時(shí)g'（x₀）＜0，
∴當(dāng)x₀=a時(shí)，g（x₀）取極大值，當(dāng)x₀=-2時(shí)，g（x₀）取極小值，
如果過(guò)（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（x₀）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則

g(-2)＜0 g(a)＞0

即f（a）＜b＜-

1

e2

（a+4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題．屬于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題．屬于難題．