Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）．且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立，f（3）=-3．
（1）證明：函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）試求函數(shù)y=f（x）在[m，n]（m，n∈N^*）上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（a+b）=f（a）+f（b）及減函數(shù)的定義即可證明．
（2）令a=b=0，則可得f（0）=0；再令a=x，b=-x，即可證明f（x）是奇函數(shù)．
（3）由（1）的結(jié)論可知f（m）、f（n）分別是函數(shù)y=f（x）在[m、n]上的最大值與最小值，故求出f（m）與f（n）就可得所求值域．

解答： 證明：（1）設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＜0，
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）證明由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
（3）解：由函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，
∴y=f（x）在[m，n]上也為單調(diào)減函數(shù)．
∴y=f（x）在[m，n]上的最大值為f（m），最小值為f（n）．
∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）．
同理，f（m）=mf（1）．
∵f（3）=-3，∴f（3）=3f（1）=-3．
∴f（1）=-1．∴f（m）=-m，f（n）=-n．
因此，函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域為[-n，-m]．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，深刻理解函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及充分利用已知條件是解決問題的關(guān)鍵．