已知△ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點，若
AB
=λ
AE
，
AC
=μ
AF
（λ＞0，μ＞0），則
1
λ
+
4
μ
的最小值為（　�。�
A、
9
2
B、
13
2
C、
15
2
D、
17
2
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：由題意可知
AD
=
λ
2
AE
+
μ
2
AF
，由D，E，F(xiàn)三點共線可知
λ
2
+
μ
2
=1，利用基本不等式即可求解．
解答： 解：由題意可知，
AD
=
1
2
AB
+
1
2
AC
=
λ
2
AE
+
μ
2
AF

    又D，E，F(xiàn)共線，
∴
λ
2
+
μ
2
=1
又（λ＞0，μ＞0）
∴
1
λ
+
4
μ
=（
1
λ
+
4
μ
）•(
λ
2
+
μ
2
)
=
5
2
+
2λ
μ
+
μ
2λ
≥
5
2
+2
2λ
μ
•
μ
2λ
=
9
2

當且僅當
2λ
μ
=
μ
2λ
，即μ=2λ時取等號．
故選：A
點評：本題考察了向量與基本不等式的綜合運用，其中向量式的結論和“1”的代入是關鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設α為銳角，若cos（α+
π
6
）=
4
5
，則sin（2α+
π
3
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上除頂點外的任意一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2相切于點M，則
F1M
•
MF2
=（　�。�
A、a2
B、b2
C、a2+b2
D、
1
2
b2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設P是雙曲線x2-
y2
4
=1上除頂點外的任意一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2相切于點M，則
F1M
•
MF2
=（　　）
A、5B、4C、2D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x為非零實數(shù)，則p：|x+
1
x
|＞2是q：|x|＞1成立的（　　）
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知離心率為e的雙曲線和離心率為
2
2
的橢圓有相同的焦點F1、F2，P是兩曲線的一個公共點，∠F1PF2=
π
3
，則e等于（　�。�
A、
5
2
B、
5
2
C、
6
2
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=sin4x-cos4x在[-
π
12
，
π
3
]的最小值是（　　）
A、-1
B、-
3
2
C、
1
2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題P：在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC，則B=
π
6
；命題q：函數(shù)y=cos2x的周期為π．則下列判斷正確的是（　　）
A、p為真B、￢q為真
C、p∧q為假D、p∨q為假命題

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x1＞0，x2＞0且x1+x2=1，求x1log2x1+x2log2x2的最小值．

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