Question

A、B為x、y軸上兩動(dòng)點(diǎn)，|AB|=10，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，已知點(diǎn)P（10，0），C（6，3），則

1

2

|PM|+|CM|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線與圓

分析：點(diǎn)A，B分別為x軸和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足|AB|=10，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=25．連接OC交⊙M于點(diǎn)M₁，可知：點(diǎn)C到M₁的距離最短．設(shè)⊙M與x軸交于點(diǎn)M₀．則|PM₀|最短．猜測(cè)：使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值在點(diǎn)M₀與M₁之間，當(dāng)CM⊥PC時(shí)，可使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值，求出即可．

解答： 解：∵點(diǎn)A，B分別為x軸和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足|AB|=10，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=25．
連接OC交⊙M于點(diǎn)M₁，可知：點(diǎn)C到M₁的距離最短．
設(shè)⊙M與x軸交于點(diǎn)M₀．則|PM₀|最短．
猜測(cè)：使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值在點(diǎn)M₀與M₁之間，當(dāng)CM⊥PC時(shí)，可使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值，
k_PC=

3

6-10

=-

3

4

，∴k_CM=

4

3

．
∴直線CM的方程為：y-3=

4

3

(x-6)，化為4x-3y-15=0．
聯(lián)立

4x-3y-15=0 x2+y2=25

，解得

x= 24 5 y= 7 5

．
∴|PM|=

(10- 24 5 )2+( 7 5 )2

=

29

，|CM|=2．
∴

1

2

|PM|+|CM|=

1

2

29

+2．
故答案為：

1

2

29

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、直線與圓相交問(wèn)題，考查了猜想能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．