設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,上頂點為A,在x軸上有一點B,滿足AB⊥AF2且F1為BF2的中點.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)若過A、B、F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0相切,判斷橢圓C和直線l的位置關(guān)系.
分析:(Ⅰ)利用AB⊥AF2且F1為BF2的中點,可得a,c的關(guān)系,從而可求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)先求出橢圓的方程,再與直線方程聯(lián)立,即可得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由題意知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b).
因為AB⊥AF2,所以在Rt△ABF2中,B
F
2
2
=AB2+A
F
2
2
.…(2分)
又因為F1為BF2的中點,所以(4c)2=(
9c2+b2
)2+a2
,…(4分)
又a2=b2+c2,所以a=2c.
故橢圓的離心率e=
c
a
=
1
2
.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=
1
2
a
,于是F2(
a
2
,0)
,B(-
3
2
a,0)
,Rt△ABF2的外接圓圓心為F1(-
1
2
a,0)
,半徑r=a.…(8分)
所以
|-
1
2
a-3|
2
=a
,解得a=2,所以c=1,b=
3

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x2
4
+
y2
3
=1
.…(11分)
x2
4
+
y2
3
=1
x-
3
y-3=0
得:13x2-24x=0,
∴可得△>0,所以直線和橢圓相交.…(13分)
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的離心率,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>1)右焦點為F,它與直線l:y=k(x+1)相交于P、Q兩點,l與x軸的交點M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d,若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項.
(1)求橢圓離心率e;
(2)設(shè)N與M關(guān)于原點O對稱,若以N為圓心,b為半徑的圓與l相切,且
OP
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左.右焦點分別為F1F2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)若過A.Q.F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M.N兩點.試證明:
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值;②在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鹽城一模)設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒過定點A(1,2),則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若P 是橢圓上的一點,|
PF1
|+|
PF2
|=4
,離心率e=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,
PF1
PF2
=-
5
4
,求點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)過定點P(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e=
2
2
,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0
相切.
(I)求橢圓C的方程;
(II)直線y=x交橢圓C于A、B兩點,D為橢圓上異于A、B的點,求△ABD面積的最大值.

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同步練習(xí)冊答案