(2012•佛山二模)記函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1(n≥2,n∈N*)的導(dǎo)函數(shù)為f′n(x),函數(shù)g(x)=fn(x)-nx.
(Ⅰ)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若實(shí)數(shù)x0和正數(shù)k滿足:
f′n(x0)
f′n+1(x0)
=
fn(k)
fn+1(k)
,求證:0<x0<k.
分析:(Ⅰ)由g(x)=(1+x)n-1-nx,可求得g′(x)=n[(1+x)n-1-1],分n(n≥2)為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論導(dǎo)數(shù)的符號,即可求得其單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)由
f′n(x0)
f′n+1(x0)
=
fn(k)
fn+1(k)
可求得x0=
(nk-1)(1+k)n+1
(n+1)[(1+k)n-1]
,設(shè)分子為h(k)=(nk-1)(1+k)n+1(k>0),可分析得到h'(k)>0,從而h(k)>h(0)=0,求得x0>0;
進(jìn)一步可求得x0-k=
1+k(n+1)-(1+k)n+1
(n+1)[(1+k)n-1]
<0,從而得證0<x0<k.
解答:解:(Ⅰ)由已知得g(x)=(1+x)n-1-nx,所以g′(x)=n[(1+x)n-1-1].…(2分)
①當(dāng)n≥2且n為偶數(shù)時,n-1是奇數(shù),由g'(x)>0得x>0;由g'(x)<0得x<0.
所以g(x)的遞減區(qū)間為(-∞,0),遞增區(qū)間為(0,+∞),極小值為g(0)=0.…(5分)
②當(dāng)n≥2且n為奇數(shù)時,n-1是偶數(shù),
由g'(x)>0得x<-2或x>0;由g'(x)<0得-2<x<0.
所以g(x)的遞減區(qū)間為(-2,0),遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞),
此時g(x)的極大值為g(-2)=2n-2,極小值為g(0)=0.…(8分)
(Ⅱ)由
f′n(x0)
f′n+1(x0)
=
fn(k)
fn+1(k)
n(1+x0)n-1
(n+1)(1+x0)n
=
(1+k)n-1
(1+k)n+1-1

所以1+x0=
n[(1+k)n+1-1]
(n+1)[(1+k)n-1]
,x0=
(nk-1)(1+k)n+1
(n+1)[(1+k)n-1]
…(10分)
顯然分母(n+1)[(1+k)n-1]>0,設(shè)分子為h(k)=(nk-1)(1+k)n+1(k>0)
則h'(k)=n(1+k)n+n(1+k)n-1(nk-1)=n(n+1)k(1+k)n-1>0,
所以h(k)是(0,+∞)上的增函數(shù),所以h(k)>h(0)=0,故x0>0…(12分)
又x0-k=
1+k(n+1)-(1+k)n+1
(n+1)[(1+k)n-1]
,由(Ⅰ)知,g(x)=(1+x)n-1-nx是(0,+∞)上的增函數(shù),
故當(dāng)x>0時,g(x)>g(0)=0,即(1+x)n>1+nx,所以1+k(n+1)>(1+k)n+1
所以x0-k<0,從而x0<k.綜上,可知0<x0<k.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,突出轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的運(yùn)用,突出構(gòu)造函數(shù)的思想的應(yīng)用,熟練掌握導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性與極值與最值是解決這類問題的關(guān)鍵,屬于難題.
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(2012•佛山二模)已知函數(shù)fM(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,滿足fM(x)=
1,x∈M
0,x∉M
(M是R的非空真子集),在R上有兩個非空真子集A,B,且A∩B=∅,則F(x)=
fA∪B(x)+1
fA(x)+fB(x)+1
的值域?yàn)椋ā 。?/div>

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(2012•佛山二模)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重:
PM2.5日均濃度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250
空氣質(zhì)量級別 一級 二級 三級 四級 五級 六級
空氣質(zhì)量類別 優(yōu) 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染
某市2012年3月8日-4月7日(30天)對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測,獲得數(shù)據(jù)后得到如條形圖:
(Ⅰ)估計該城市一個月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率;
(Ⅱ)在上述30個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個,設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)的天數(shù),求X的分布列.

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(2012•佛山二模)如圖所示為函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象,其中A,B兩點(diǎn)之間的距離為5,那么f(-1)=( 。

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e
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