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6.已知雙曲線的一個焦點為(4,0),離心率為e=2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)寫出該雙曲線的漸進(jìn)線方程,并求它的焦點(4,0)到另一條漸進(jìn)線的距離.

分析 (1)由題意可知:雙曲線的焦點在x軸,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2y2b2=1a0b0,由題意可知:c=4,e=ca=2,即可求得a,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求得b,求得雙曲線方程;
(2)由雙曲線的方程求得漸近線方程及另一個焦點,根據(jù)點到直線的距離公式即可求得焦點(4,0)到另一條漸進(jìn)線的距離.

解答 解:(1)由雙曲線的一個焦點為(4,0),即焦點在x軸上,
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2y2b2=1a0b0
由題意有:c=4e=ca=2,
a=c2=2b2=a2c2=164=12
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x24y212=1;
(2)由(1)可知:該雙曲線的漸近線方程為:y=±3x,
焦點(4,0)到漸近線3xy=0距離為:d=432=23,
∴焦點(4,0)到另一條漸進(jìn)線的距離23

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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