Question

（理）設(shè)斜率為k₁的直線L交橢圓C：于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為
（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關(guān)系（不需要證明）．請你給出在雙曲線（a＞0，b＞0）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．
（3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進(jìn)一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例．
如果概括后的命題中的直線L過原點(diǎn)，P為概括后命題中曲線上一動點(diǎn)，借助直線L及動點(diǎn)P，請你提出一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系求弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入可得，從而可求
（法二）（利用點(diǎn)差法）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)M（x，y），由與作差得 =可求
（2）已知斜率為K₁的直線L交雙曲線（a＞0，b＞0）于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M 為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)K₁、k₂都存在）．
則k₁，k₂?的值為
（解一）設(shè)直線方程為y=k₁x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求
（解二）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)中點(diǎn)M（x，y）由點(diǎn)A，B在雙曲線上，則利用點(diǎn)差法可求
（3）對（2）的概括：設(shè)斜率為k₁的直線L交二次曲線C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁，k₂、都存在），則．
解答：（解一）：（1）設(shè)直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，（2分）
，又中點(diǎn)M在直線上，所以
從而可得弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，所以．（4分）
（解二）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)M（x，y） 則，
=，   （2分）
又與作差得  =
所以             （4分）
（2）對于橢圓，  （6分）
已知斜率為K₁的直線L交雙曲線（a＞0，b＞0）于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M 為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)K₁、k₂都存在）．
則k₁，k₂?的值為． （8分）
（解一）設(shè)直線方程為y=k₁x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-（ad）²-（ab）²=0
，
所以==， （2分），即     （10分）
（解二）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)中點(diǎn)M（x，y）
則，，=， （2分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A，B在雙曲線上，則
與作差得
==k₁k₂    即 （10分）
（3）對（2）的概括：設(shè)斜率為k₁的直線L交二次曲線C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁，k₂、都存在），則．（12分）
提出問題與解決問題滿分分別為（3分），提出意義不大的問題不得分，解決問題的分值不得超過提出問題的分值．
提出的問題例如：直線L過原點(diǎn)，P為二次曲線線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點(diǎn)，設(shè)直線L交曲線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P異于A，B兩點(diǎn)時(shí)，如果直線PA，PB的斜率都存在，則它們斜率的積為與點(diǎn)P無關(guān)的定值．（15分）
解法1：設(shè)直線方程為y=kx，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（-x₁，-y₁），則y₁=kx₁
把y=kx代入mx²+ny²=1得（m+nk²）x²=1，
K_PA•K_PB==，
所以K_PA•K_PB===（18分）
提出的問題的例如：直線L：y=x，P為二次曲線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點(diǎn)，設(shè)直線L交曲線于A，B兩點(diǎn)．試問使∠APB=30°的點(diǎn)P是否存在？（13分）
問題例如：1）直線L過原點(diǎn)，P為二次曲線線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點(diǎn)，設(shè)直線L交曲線于A，B兩點(diǎn)，求PA+PB的值．
2）直線l過原點(diǎn)，P為二次曲線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點(diǎn)，設(shè)直線L交曲線于A，B兩點(diǎn)，求S_△PAB的最值．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠由橢圓的性質(zhì)歸納推理 到一般的曲線方程，及較強(qiáng)的邏輯推理的運(yùn)算能力